মৌলিক সংখ্যা সহজে বের করার মজার গল্প

মুন্না মৌলিক সংখ্যা নিয়ে সারা দিন খেলা করে, যার সাথে দেখা হয় তাকেই সে এই মৌলিক সংখ্যা নিয়ে কিছু না কিছু জিজ্ঞাসা করে। তবে আজ একটি সংখ্যা মৌলিক কি না তা কিভাবে সবচেয়ে কম সময়ে বের করতে হয় সেটা শিখাবে, এটা ভেবেই সে বাড়ি থেকে বের হয়েছে। ইউনিভার্সিটিতে ঢুকতেই মেহেদীর সাথে দেখা হলো মুন্নার, মেহেদীর নতুন কিছু শিখার উপর অনেক আগ্রহ।। মুন্না আর মেহেদী কথা বলতে বলতে কম্পিউটার ল্যাব এর দিকে গিয়ে গেলো। সেখানে তারা প্রায় প্রোগ্রামিং আর ম্যাথ নিয়ে আলোচনা করে। তাদের সাথে আরো অনেকেই থাকে। মুন্না কথা বলতে বলতে হঠাৎ জিজ্ঞাসা করলো,

মুন্না: আচ্ছা মেহেদী, একটি সংখ্যা মৌলিক সংখ্যা কি না সেটা কি ভাবে বের করবে?

মেহেদী: ১ বাদে ঐ সংখ্যার অর্ধেক পর্যন্ত যেই সব নাম্বার আছে সেই সব সংখ্যা দিয়ে ভাগ দিয়ে দেখবো যদি কোনো একটি সংখ্যা দ্বারা ভাগ যাই তাহলে সেটা মৌলিক সংখ্যা না।

মুন্না: ধরো আমি তোমাকে ১৮ দিলাম তাহলে তুমি কি করবে?

মেহেদী: তাহলে ১৮/২ কত ভাইয়া ? ৯ তাই না?

মুন্না: হুম।

মেহেদী: তাহলে আমি ২ থেকে ৯ পর্যন্ত যেই সব সংখ্যা আছে সব গুলো দিয়ে ভাগ করে দেখবো। প্রথমে ২ দিয়ে তারপর ৩ দিয়ে তারপর এই ভাবে সামনে আগাবো যেই সংখ্যা দিয়ে ভাগ যাবে সেখানে থেমে যাবো। আর ৯ পর্যন্ত ভাগ দিয়ে দেখবো তার কারণ এর চেয়ে বড় সংখ্যা দিয়ে আর ভাগ দেয়া সম্ভব না ১৮ কে।

মুন্না: তার মানে তোমাকে ১০১ দিলে ৫০ পর্যন্ত ভাগ দিয়ে দেখবে ?

মেহেদী: হ্যাঁ ভাইয়া।

মুন্না: তুমি একটু ভালো করে নাম্বার গুলো লক্ষ্য করলে বুঝতে পারতে যে, কিভাবে আরো কম সংখ্যা চেক করে আমরা বলতে পারি যে একটা সংখ্যা মৌলিক কি না।

মেহেদী: কিন্তু একটা নাম্বার এর অর্ধেক নাম্বার দিয়েওতো সেই নাম্বার কে ভাগ যায়।।

মুন্না: আচ্ছা আমি একটি উদাহরণ এর সাহায্যে বুঝানোর চেষ্টা করছি।। তার আগে তুমি ১৮ এর উৎপাদক গুলো বলো।।

মেহেদী: আছা আমি বোর্ড এ লিখি? আপনার কাছে মারকার আছে?

মুন্না: এই যে নাও। ১ আর ঐ সংখ্যা বাদে সব গুলো উৎপাদক লিখে ফেলো।।

মেহেদী ১৮ এর উৎপাদক গুলো লিখে ফেললো,

২, ৩, ৬, ৯

মুন্না: দেখো মেহেদী এখানে আমারা দেখতে পাচ্ছি প্রথম উৎপাদক ২, তাহলে ২ দিয়ে ১৮ কে ভাগ করলে কত পাওয়া যায়?

মেহেদী: ৯

মুন্না: তাহলে যেই ভাগফল পাচ্ছি সেটাও একটা উৎপাদক।। তারমানে আমারা একটা নাম্বার কে, যেই দিয়ে ভাগ দেই “সেটা” আর “সেটার” ভাগফল এই দুইটাই সেই সংখ্যার উৎপাদক। কি তাইনা?

মেহেদী: হুম ভাইয়া।।

মুন্না:তাহলে আমরা কি দেখতে পাচ্ছি অর্ধেক পর্যন্ত না ভাগ করলেও চলবে।

মেহেদী: তাহলে আমরা কিভাবে বুঝব কোন পর্যন্ত ভাগ করতে হবে।

মুন্না: যতক্ষণ পর্যন্ত ছোট সংখ্যা দিয়ে ভাগ করে ভাগ ফল বড় সংখ্যা পাবো ততক্ষন পর্যন্ত ভাগ করব।

মেহেদী: আচ্ছা বুঝেছি যেমন ২ দিয়ে ১৮ কে ভাগ করলে ৯, ৩ দিয়ে ১৮ কে ভাগ করলে ৬। কিন্তু ৬ দিয়ে ১৮ কে ভাগ করলে ৩ হবে। আমরা আবার আগের সংখ্যা গুলো ফেরত পাচ্ছি।

মুন্না: হ্যাঁ তুমি একদম ঠিক ধরেছ।

মেহেদী: কিন্তু ভাইয়া মৌলিক সংখ্যার ক্ষেত্রে আমরা কিভাবে এটা বুঝবো?

মুন্না: হ্যাঁ, সেটাই আমি বলতে চাচ্ছিলাম এখনই, যে প্রাইম নাম্বার এ ক্ষেত্রে এটা বোঝার কোন সুযোগ নাই কারণ প্রাইম নাম্বার ১ আর ঐ সংখ্যা ছাড়া অন্য কোন সংখ্যা দিয়ে ভাগ যায় না, সেই ক্ষেত্রে আমাদের সেই সংখ্যার বর্গমূল (square root) পর্যন্ত ভাগ করে দেখতে হবে। যেমন, ১৮ এর বর্গমূল ৪.২৪২৬৪……।

মেহেদী: তাহলে কি এটা বলা যাই যে ১৮ এর জন্য ২ থেকে ৪ এর মধ্যে যেই সব সংখ্যা আছে তাদের মধ্যে ভাগ দিয়ে যদি না যায় তাহলে সেটা প্রাইম, আর ভাগ গেলে প্রাইম নাম্বার না।

মুন্না: হুম, একটা বড় সংখ্যা ধরে দেখো।। যেমন, ১০১ ধরো। ১০১ এর বর্গমূল কত বলো।

মেহেদী: ভাইয়া ১০১ এর বর্গমূল? আচ্ছা ১০ x ১০ = ১০০ হয়, আর ১১ x ১১ = ১২১, তাহলে ১০১ এর বর্গমূল ১০ দশমিক সামথিং।

মুন্না: তাহলে ১০ ধরলেই হবে।। এখন ২ থেকে ১০ পর্যন্ত সব নাম্বার গুলো দিয়ে ভাগ করে দেখো।

মেহেদী: জি ভাইয়া দেখলাম, ২ থেকে ১০ পর্যন্ত কোন নাম্বার দিয়ে ভাগ যায় না।।

মুন্না: তাহলে আমরা ধরে নিতে পারি ১০১ প্রাইম বা মৌলিক সংখ্যা।

মেহেদী: বা দারুণ ব্যাপার তো, আমি এই ভাবে কোন দিন ভেবে দেখিনি।। ১০১ এই জন্য ২ থেকে ১০ পর্যন্ত মাত্র ৯ টা সংখ্যা দিয়ে ভাগ করেলেই হবে।।

মুন্না: আসলে ৯ টা না আরো একটু চিন্তা করলে বুঝতে পারবে যে, আরো কম সংখ্যা চেক করেই বলা যায়, যে সংখ্যা টি মৌলিক কি না।।

মেহেদী: ?????? কিভাবে?

মুন্না: আচ্ছা আমরা আরো একটা বড় সংখ্যা নেই।। ধরো ১০০৩, এর বর্গমূল কত?

মেহেদী: ৩১ দশমিক সামথিং। তাহলে ২ থেকে ৩১ পর্যন্ত সব গুলো নাম্বার দিয়ে চেক না করলেও হবে, তাই তো আপনি বলছেন, তাই না?

মুন্না: হ্যা। মেহেদী তুমি ২ থেকে ৩১ পর্যন্ত সব গুলো সংখ্যা বোড এ লিখে ফেলো।।

সংখ্যার তালিকা: (১)
২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯, ১০, ১১, ১২, ১৩, ১৪, ১৫, ১৬, ১৭, ১৮, ১৯, ২০, ২১, ২২, ২৩, ২৪, ২৫, ২৬, ২৭, ২৮, ২৯, ৩০, ৩১

মেহেদী: জি ভাইয়া দেখেন।।

মুন্না: তাহলে প্রথমে ২ আছে, তাহলে আমারা ২ দিয়ে ভাগ করে দেখবো।।

মেহেদী: ২ দিয়ে ভাগ যাবে না ১০০৩ কে, এরপর ৩, ৪, ৫, ৬ এই সংখ্যা গুলো দিয়ে ভাগ করে দেখবো ভাইয়া?

মুন্না: না এই ভাবে না।। আমরা দেখালাম ২ দিয়ে ভাগ যাচ্ছে না ১০০৩ কে, তাহলে আমরা ধরে নিতে পারি যে ২ এর কোন গুণিতক দিয়েই ১০০৩ কে ভাগ যাবে না।। কেনো বলতো ২ এর কোন গুণিতক দিয়েই ভাগ যাবে না?

মেহেদী: ২ এর কোন গুণিতক দিয়ে ভাগ যাবে না, তার কারণ ২ দিয়ে দুই এর সমস্ত গুণিতক ভাগ যাই। যেহেতু ২ দিয়েই ভাগ যাচ্ছে না ১০০৩ কে, সেহেতু ২ এর গুণিতক যেমনঃ ৪,৬,৮ বা ২ এর অন্য গুণিতক দিয়েও ভাগ যাওয়া সম্ভব না।

মুন্না: ঠিক বলেছো, তাহলে তুমি ২ এর গুণিতক গুলো কেটে দাও।

সংখ্যার তালিকা: (১) থেকে ২ এর গুণিতক গুলো কাটার পর,

সংখ্যার তালিকা: (২)
৩, ৫, ৭, ৯, ১১, ১৩, ১৫, ১৭, ১৯, ২১, ২৩, ২৫, ২৭, ২৯, ৩১

মুন্না: দেখো কত গুলো নাম্বার বাদ চলে গেলো। এই বার ৩ দিয়ে ভাগ দিয়ে দেখো।

মেহেদী: ৩ দিয়েও যায় না ভাইয়া।। তাহলে এই বার ৩ এর গুণিতক গুলো ও কেটে দিবো তাই না?

মুন্না: হ্যা। এইতো বুঝেছো।।

সংখ্যার তালিকা: (২) থেকে ৩ এর গুণিতক গুলো কাটার পর,

সংখ্যার তালিকা: (৩)
৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৫, ২৯, ৩১

মুন্না: দেখো এই বার ৫ আছে আর বুঝাই যাচ্ছে ৫ দিয়েও যাবে না।

সংখ্যার তালিকা: (৩) থেকে ৫ এর গুণিতক গুলো কাটার পর,

সংখ্যার তালিকা: (৪)
৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১

মুন্না: এখন ৭ দিয়ে দেখো যাই কি না।।

মেহেদী: না ভাইয়া ৭ দিয়েও যাচ্ছে না।। আর ৭ এর গুণিতক গুলোও আগেই কেটে দিয়েছি।।

মুন্না: হ্যা, এখন পরের গুলো দিয়ে দেখো।।

মেহেদী: ১১ দিয়ে যাচ্ছে না, ১৩ দিয়ে না, ১৭ দিয়ে। ভাইয়া ১৭ দিয়ে যাচ্ছে।।

মুন্না: তাহলে এটা মৌলিক সংখ্যা না।

মেহেদী: আচ্ছা ভাইয়া তাহলে কি আমরা ধরে নিতে পারি যে, একটি সংখ্যার বর্গমূলে মধ্যে যত গুলো মৌলিক সংখ্যা আছে সেই গুলো দিয়ে চেক করলেই বুঝতে পারবো সব সময় যে সংখ্যা টা মৌলিক কি না?

মুন্না: হ্যাঁ আমরা তো তাই করেছি ১০০৩ মৌলিক কি না সেটা বের করের ক্ষেত্রে। তুমি একটু ভাল করে লক্ষ্য করলে বুঝতে পারতে যে আমরা মৌলিক ছাড়া অন্য কোন সংখ্যা দিয়ে ভাগ দেইনি।

মেহেদী: হ্যাঁ, ভাইয়া তাই তো প্রথমে ২ দিয়ে তারপর ৩ দিয়ে, তারপর ৫,৭,১১…।।

মুন্না: যেহেতু আমরা জানিনা একটি সংখ্যার বর্গমূল এর মধ্যে কোন সংখ্যা গুলো মৌলিক তাই আমরা এক ভাবে করেছি। গুণিতক গুলো কেটে যেয়ে শুধু মৌলিক সংখ্যা গুলোই থেকে গিয়েছে। তুমি মূল বিষয়টা তো বুঝেছো তাই না?

মেহেদী: জি ভাইয়া, একটা সংখ্যা মৌলিক কি না সেটা বুঝতে হলে আমাদের সেই সংখ্যার বর্গমূল পর্যন্ত সংখ্যা গুলো দিয়ে ভাগ করে দেখলেই হবে।।

মুন্না: হ্যা, আর যেই সংখ্যা গুলো দিয়ে ভাগ যাবে না সেই সংখ্যা গুলোর গুণিতক গুলো কেটে দিবা।

মেহেদী: বুঝেছি ভাইয়া।। ???

তারপর, মেহেদী আরো একটা বড় সংখ্যা নিয়ে সংখ্যা টি মৌলিক কি না তা বের করার শুরু করলো।

বিশেষ দ্রষ্টব্য : লিখাতে কোথাও সমস্যা বা কোথাও বুঝতে অসুবিধা হলে অবশ্যই জানাবেন।