সাপ্তাহিক গণিত চিন্তা – ৪৬, এর সমাধান

প্রশ্নঃ সাপ্তাহিক গণিত চিন্তা – ৪৬

যদি কোন সংখ্যা অপর কোন সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয়, তাহলে প্রথম সংখ্যাটিকে দ্বিতীয় সংখ্যার গুণিতক বলে।

ধরা যাক, আমরা 1 থেকে n পর্যন্ত m এর কয়টি গুণিতক আছে (অর্থাৎ ঐ সীমার মধ্যে কয়টি সংখ্যা m দ্বারা বিভাজ্য) তা নির্ণয় করতে চাই। এটা খুব সহজেই নির্ণয় করা সম্ভব। আমরা যদি n কে m দ্বারা ভাগ করে শুধু ভাগফল নিই (ভাগশেষকে উপেক্ষা করে), তাহলে সেই ভাগফলই হবে 1 থেকে n পর্যন্ত m এর গুণিতক সংখ্যা। এখানে মনে রাখতে হবে যে, ভাগফলের পূর্ণসাংখিক অংশ কেবল হিসাব করতে হবে, দশমিক অংশ বাদ দিয়ে যেতে হবে। ভাগের শুধু পূর্ণসাংখিক অংশ নেওয়াকে গাণিতিক ভাবে এরকম করে লেখা যায়,

floor(n/m)।

এখন ধরা যাক আমরা x থেকে y এর মধ্যে m দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যার পরিমান বা গুণিতক সংখ্যা নির্ণয় করতে চাই। সেই ক্ষেত্রে, আমরা প্রথমে 1 থেকে y পর্যন্ত m এর গুণিতক সংখ্যা নির্ণয় করবো, যা হবে floor(y/m)। এরপর আমরা 1 থেকে x পর্যন্ত m এর গুণিতক সংখ্যা নির্ণয় করবো, যা হবে floor(x/m)। এখন এই দুইটি সংখ্যার পার্থক্যই হবে আমাদের উত্তর।

অর্থাৎ, x থেকে y এর মধ্যে m এর গুণিতক সংখ্যা = floor(y/m) – floor(x/m)।

এইখানে একটা ব্যতিক্রম এর দিকে আমাদের লক্ষ্য রাখতে হবে। যদি শুরুর সংখ্যাটি (x) m দ্বারা বিভাজ্য হয় তাহলে উপরের ফলাফলের সাথে 1 যোগ করতে হবে।

অর্থাৎ, যদি x, m দ্বারা বিভাজ্য হয় তাহলে floor(y/m) – floor(x/m) + 1; অন্যথায় floor(y/m) – floor(x/m)।

আমাদের প্রদত্ত সমস্যায়, x= 10200, y= 1072000 এবং m= 727 ছিলো। তাই আমাদের প্রথমেই দেখতে হবে যে x বা 10200 সংখ্যাটি 727 দ্বারা বিভাজ্য কি না। 10200 সংখ্যাটি 727 দ্বারা বিভাজ্য নয়। অতএব আমাদের উত্তর হবে= floor(1072000/727) – floor(10200/727)
= 1474 – 14 = 1460

সঠিক উত্তর হচ্ছে,
1460

সঠিক উত্তর দাতা দের নাম:
1. Mobashsher Hossain – কোহকাফ নগর
2. Shuvro Auritro – Kushtia
3. Bishnu Das – Panchagarh
4. Anurup Das – Dhaka
5. Niloy Paul – Mymensingh
6. রুমানা নিপা – বগুড়া
7. Sohan – Bogura
8. Md.Sajedur Rahman – Rangpur
9. ডা. সজল সরকার – Chandpur
10. Shuvo kumer – Natore
11. Rizvie Ahamed – Munshiganj
12. Soumik Chowdhury – Chattogram
13. রাইকা রায় – Rajshahi
14. Jarin Tasnim – Nilphamari
15. Jannatul Kabir – Rangpur