সাপ্তাহিক গণিত চিন্তা – ০১৯, এর সমাধান

প্রশ্নঃ সাপ্তাহিক গণিত চিন্তা – ০১৯

এই প্রশ্নের সমাধানের ক্ষেত্রে আমাদের খেয়াল করতে হবে যে, এখানে সম্ভাব্য সর্বনিম্ন টাকার পরিমাণ নির্ণয় করতে বলা হয়েছে।

অনেকেই “প্র্যাকটিক্যাল” পরিস্থিতির কথা হিসাব করে চিন্তা করেছেন। তাদের উদ্দেশ্যে বলছি, ম্যাথমেটিকাল রিয়েলিটি বলে একটা ব্যাপার আছে। এই প্রশ্নে যেহেতু সম্ভাব্য সর্বনিম্ন টাকার পরিমাণ চাওয়া হয়েছে সেহেতু আমাদেরকে সেটাই বের করতে হবে। আর প্র্যাকটিক্যাল এর কথা ভাবতে গিয়ে অনেকেই সম্ভাব্য অনেক পরিস্থিতিই ভাবতে ভুলে গিয়েছেন।

মনে করি, জুবায়ের x টাকা নিয়ে ব্যবসা করতে নেমেছিলেন। কাজেই 1 মাস পরে তার মোট মূলধন দাঁড়াবে x² টাকা। তাকে প্রারম্ভিক মূলধনের 20 গুন চাঁদা দিতে হয়েছে। তাই চাঁদা বাদে তার টাকার পরিমাণ x² – 20x টাকা। আবার সে লটারিতে 500 টাকা জিতেছে। কাজেই জুবায়ের এর মোট টাকার পরিমাণ,

(x² – 20x + 500) টাকা।

এখন এই পরিমাণের সর্বনিম্ন মান কত?

অনেকগুলো ভিন্ন উপায়ে এই পরিমাণ নির্ণয় করা সম্ভব। আমরা কয়েকটি উপায় দেখি।

উপায় ১:

ax² – bx + c এর সর্বনিম্ন সম্ভাব্য মান (c – b²/4a) এবং এই সম্ভাব্য সর্বনিম্ন মানের ক্ষেত্রে x = b/2a

উপায় ২:

f(x) = ax² – bx + c হলে f(x) এর সবনিম্ন/সর্বোচ্চ মান পাওয়া যাবে যখন f'(x) = 0 হবে।

অর্থাৎ f(x) কে x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করলে যা পাওয়া যাবে সেটার মান শূন্য ধরে যে সমীকরণ পাওয়া যায়, তার সমাধান করে x এর যে মান পাওয়া যাবে সেটার জন্যেই f(x) এর মান সর্বনিম্ন বা সর্বোচ্চ হবে।

উপায় ৩:

আমরা যদি ax² – bx + c এর লেখচিত্র আকি তাহলে আমরা দেখতে পাবো যে x এর একটি সর্বনিম্ন মান পর্যন্ত লেখটি নিম্নগামী। ঐ মানের চেয়ে বড় মানের x হলে লেখটি আবার ঊর্ধগামী হবে।

যে উপায়েই করা হোক না কেন, সর্বনিম্ন সম্ভাব্য টাকার পরিমাণ হবে 400 এবং এর জন্য প্রারম্ভিক মূলধন হতে হবে 10 টাকা।

কাজেই উত্তর: 400, 10

[ অনেকের মনে হতে পারে যে, 10 টাকা প্রারম্ভিক মূলধন হলে তো 1 মাস পরের মোট মূলধন হবে 100 টাকা আর চাঁদা দিতে হয়েছে 200 টাকা! এটা কিভাবে সম্ভব! এটা খুব ভালো ভাবেই সম্ভব। সে ঐ চাঁদার 100 টাকা কারো কাছ থেকে ধার করে দিয়ে থাকতে পারে (এই কারণে একটা পর্যায়ে তার মোট টাকার পরিমাণ ছিলো -100 টাকা)। পরে লটারি পেয়ে সে ধার শোধ করে দিয়েছে।]

সঠিক উত্তর দাতা দের নাম:
1. Abrar obaid – Pabna
2. Niloy Paul – Mymensingh
3. Farzana Akter (Ritu) – Pabna
4. Himel – Manikgonj
5. Sm. Aminul Haque (Ovi) – Natore

গত ৪ সপ্তাহে Farzana Akter (Ritu) সবচেয়ে বেশি সমস্যার সমাধান করেছেন।

Pabna থেকে Farzana Akter (Ritu) কে জানাই পূর্ণ চিন্তার পক্ষ থেকে অভিনন্দন, আমরা তার হাতে খুব দ্রুত পুরস্কার তুলে দিতে চাই। সাপ্তহিক গণিত চিন্তার ৩ টি সমস্যা তিনি খুব দক্ষতার সাথে সমাধান করেছেন। পুরস্কার বিষয়ে বিস্তারিত জানতে।