সাপ্তাহিক গণিত চিন্তা – ০০২, এর সমাধান

প্রশ্ন?

মিতু অনেক মন দিয়ে সংখ্যাগুলোর দিকে তাকিয়ে আছে। বেশ কিছুক্ষণ আগে বৃষ্টি থেমে গিয়েছে, ব্যাঙও আর ডাকছে না। ঘন মেঘ কেটে যেতেই সূর্যের আলো ছুঁয়েছে পৃথিবীকে। মিতুর এই দিকে খেয়াল নেই একটুও। তাকে এতো মনোযোগের সাথে অংক করতে এর আগে দেখেনি লিটু। মিতু সমাধান করেই চেঁচিয়ে বলে উঠলো, ” ৭ “।

মিতুর চিৎকার শুনে লিটু তার দিকে তাকালো।
মিতু বলল, “এই সংখ্যা গুলো গুণ করে গুণফলের শেষে ৭ টি শূন্য থাকে। এইরে কখন বৃষ্টি পালিয়েছে বুঝতেই পারিনি”।

লিটুঃ হ্যাঁ, তোর উত্তর ঠিক হয়েছে। কি ভাবে করেছিস বল। আমি নিশ্চিত তুই এটা গুণ করে করেছিস।

মিতুঃ মোটেও না আমাকে এতটা গাধা ভাবিস না। আমি নিজে থেকেই করেছি।

মিতু মনে মনে ভাবল, এমন ধরনের একটা অংক “গণিত অলিম্পিয়াড” এ কিছু বাচ্চা কে করতে দেখেছিলাম।

মিতুর পুরাতন অভ্যাস বাচ্চাদের পরীক্ষার সময় কে কি করছে তা ঘুরে ঘুরে দেখা।

লিটুঃ আচ্ছা কি ভাবে করেছিস আমাকে বুঝিয়ে বল।

মিতুঃ কিছু সংখ্যার মৌলিক উৎপাদক বের করে এটার সমাধান করেছি।

লিটুঃ মৌলিক উৎপাদক এর সাথে এর কি সম্পর্ক বুঝিয়ে বল।

মিতুঃ আচ্ছা। আমরা জানি যে, যে সব সংখ্যার শেষে শূন্য থাকে সে সব সংখ্যার সাথে কোন সংখ্যার গুণ করলে গুণফলের শেষেও সেই শূন্য গুলো চলে আসে।
যেমনঃ ২৪ * ১০০০ = ২৪০০০ ।

কিন্তু কিছু কিছু ক্ষেত্রে কোন সংখ্যার শেষে শূন্য না থেকেও গুণফল এর শেষে শূন্য চলে আসে।
যেমনঃ ২৫ * ৪ = ১০০।

লিটুঃ হুম কিন্তু কেন?

মিতুঃ কারণ আমরা না দেখতে পেলেও (২৫ * ৪) এর মধ্যে দুইটা শূন্য লুকিয়ে আছে।

লিটু এখন সম্পূর্ন মনোযোগ দিয়ে মিতুর কথাগুলো শুনতে লাগলো।

লিটুঃ ২৫ গুণ ৪ এর মধ্যে কোথায় শূন্য আছে?

মিতুঃ আমরা জানি যে, সমস্ত যৌগিক সংখ্যাই দুই বা ততোধিক মৌলিক সংখ্যার গুণফল। আমরা যদি ২৫ এবং ৪ এর মৌলিক উৎপাদক বের করি তাহলে দেখতে পাই,

২৫ = ৫ * ৫
৪ = ২ * ২

এখন যদি (৫ * ৫ * ২ * ২) এই গুলোর গুণ করি তাও ১০০ ওই পাবো। কিন্তু একটু সাজিয়ে লিখলেই আমরা শূন্য গুলো দেখতে পাবো।

এই দেখ,

(৫ * ২) * (৫ * ২)
= ১০ * ১০
= ১০০

কি গাধা দেখতে পেয়েছিস?

লিটুঃ হুম, তারমানে মৌলিক উৎপাদক করার পর যত গুলো ৫ এবং ২ এর জোড়া পাবো, ঠিক তত গুলোই শূন্য পাওয়া যাবে তাইতো?

মিতুঃ হুম, আর যে সব সংখ্যাকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে ৫ এবং ২ পাওয়া যাবে সেই গুলো নিয়েই আমাদের কাজ। যে সব সংখ্যাকে 2 বা 5 দ্বারা ভাগ করা যায় না, তাদেরকে হিসাবের মধ্যে আনার কোন দরকার ই নেই।

2 x 4 x 5 x 7 x 10 x 11 x 15 x 20 x 25 x 30 x 101 x 555 x 2000000000003 x 2000000001073 x 1000000000000000031 x 1000000000000000183 x 1000000000000000201

তোর দেওয়া সংখ্যা গুলো থেকে আমি শুধু (২,৪,৫,১০,১৫,২০,২৫,৩০,৫৫৫) এই সংখ্যা গুলোর মৌলিক উৎপাদক বের করেছি। কারণ যেই সমস্ত সংখ্যা ৫ অথবা ২ দ্বারা বিভাজ্য, শুধু মাত্র সেই সব সংখ্যা গুলোকেই মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে ৫ আর ২ পাওয়া যাবে।

২ = ২
৪ = ২ * ২
৫ = ৫
১০ = ২ * ৫
১৫ = ৩ * ৫
২০ = ২ * ২ * ৫
২৫ = ৫ * ৫
৩০ = ২ * ৩ * ৫
৫৫৫ = ৩ * ৫ * ৩৭

লিটুঃ দারুণ চিন্তা।

লিটু মনে মনে ভাবলো, আমিতো সব গুলো সংখ্যার মৌলিক উৎপাদক বের করে দেখতাম।

মিতুঃ তাহলে উপরের মৌলিক উৎপাদক থেকে আমরা পেলাম, ৭ টা ২ এবং ৮ টা ৫।

২, ২, ২‌, ২, ২, ২, ২
৫, ৫, ৫, ৫, ৫, ৫, ৫, ৫

আর এটা দেখেই বুঝা যাচ্ছে যে, এখান থেকে ৫ এবং ২ এর ৭ টার বেশি জোড়া তৈরি করা সম্ভব না। আর একটা কথা ৫ এবং ২ ছাড়া অন্য কোন মৌলিক সংখ্যা দিয়ে গুণ করে ১০ বানানো সম্ভব না।

লিটুঃ আরে বাবা এই বার থাম বুঝতে পেরেছি।

মিতুঃ হুম। না বুঝলে বল আমি আবার বুঝাচ্ছি।

লিটুঃ একটা অংক বুঝিয়ে এতো ভাব।। তবে তুই যে এই বিষয়টা এতো ভালো বুঝিস তা জানতাম না।

মিতুঃ বুঝবো না কেনো? এই বিষয় টা যে আমার সাথে জড়িত। আমি যে সেই ৫।

সঠিক উত্তর দাতা প্রথম ৩ জন,
১। Lisa Moni – Dhaka
২। Md Mahadi Hasan – Comilla
৩। Mohammed Marzuq Rahman – Chittagong