সাপ্তাহিক গণিত চিন্তা – ৪৫, এর সমাধান

প্রশ্নঃ সাপ্তাহিক গণিত চিন্তা – ৪৫

[প্রথম সপ্তাহে কোন সঠিক উত্তরদাতা না থাকায় দ্বিতীয় সপ্তাহেও একই সমস্যা দেওয়া হয়েছিলো। অনেকেই উত্তর জমা দিয়েছেন। এবং বেশির ভাগেরই ক বা খ এর কেবল একটি সঠিক হয়েছে। সম্পূর্ণ সঠিক উত্তর দাতাদের নাম নিচে দেওয়া আছে।]

সমাধানের শুরুতেই আমরা কিছু জ্যামিতিক ও ত্রিকোণমিতিক তথ্য জেনে নিই:

১। কোন ত্রিভুজের অন্তস্থ যে বৃত্ত ত্রিভুজের তিন বাহুকেই স্পর্শ করে তাকে ঐ ত্রিভুজের অন্তঃবৃত্ত বলে। অন্তঃবৃত্ত আঁকার জন্য ত্রিভুজের তিনটি শিরকোণের সমদ্বিখণ্ডক একে তাদের ছেদবিন্দু নির্ণয় করতে হয়। এর পর সেই ছেদ বিন্দু হতে যে কোন বাহুর উপর লম্ব আঁকতে হয়। এবার ছেদবিন্দুতে কেন্দ্র করে ঐ লম্বের সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আঁকলে সেটিই হবে ঐ ত্রিভুজের অন্তঃবৃত্ত।

কোন ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a, b ও c হলে সেই ত্রিভুজের অর্ধপরিসীমা, s = (a+b+c)/2 এবং বেশ সহজেই প্রমাণ করা যায় যে অন্তঃবৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = sqrt((s-a)*(s-b)*(s-c)/s)।

তাই অন্তঃবৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে= π*(s-a)*(s-b)*(s-c)/s বর্গ একক

২। কোন ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a, b ও c হলে সেই ত্রিভুজের অর্ধপরিসীমা, s = (a+b+c)/2 এবং বেশ সহজেই প্রমাণ করা যায় যে, tan A/2 = sqrt( (s-b)*(s-c)/(s*(s-a)))

৩। কোন ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a, b ও c হলে সেই ত্রিভুজের শিরকোণ A = arccos((b^2+c^2-a^2)/2*b*c)

৪। ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র ও যে কোন শীর্ষের সংযোগকারী রেখাংশ ঐ শিরকোনকে সমদ্বিখন্ডিত করে।

এবার আমরা সমাধানে আসি। উপরের ছবিটি আমাদের সমস্যাটি ব্যাখ্যা করতে সাহায্য করবে। সমস্যার শর্ত অনুযায়ী ত্রিভুজটির মধ্যে বৃত্ত আঁকা হলে তা হবে ত্রিভুজটির অন্তঃবৃত্ত। এখন AE ও AF রেখাংশ ও EF বৃত্তচাপ দ্বারা আবদ্ধ অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য, ছবির দিকে তাকালেই আমরা দেখতে পাই যে নির্ণেয় ক্ষেত্রফল হবে, চতুর্ভুজ OEAF এর ক্ষেত্রফল ও বৃত্তাংশ OEF এর ক্ষেত্রফল এর পার্থক্য।

চতুর্ভুজ OEAF আবার ত্রিভুজ OAE ও ত্রিভুজ OAF এর সমন্বয়। এবং এটা প্রমাণ করা যায় যে এই ত্রিভুজদ্বয় সর্বসম। অর্থাৎ তাদের ক্ষেত্রফল সমান।

অতএব, চতুর্ভুজক্ষেত্র OEAF = 2 * ত্রিভুজ OAE
=2* (1/2)* OE * AE
= r * r/tan (A/2) [ ১ নং ও ৪ নং তথ্যের সহায়তায় ত্রিকোণমিতির সূত্র অনুযায়ী ]

আবার বৃত্তাংশ EOF বৃত্তের কেন্দ্রে π – A রেডিয়ান কোন উৎপন্ন করে। তাই এই বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল = r*r*(π – A)/2

এখন, ১ নং দ্বারা থেকে r এর মান, ২নং দ্বারা tan A/2 এর মান এবং ৩ নং দ্বারা A এর মান (রেডিয়ান এককে) নির্ণয় করা যায়। আর এগুলো ব্যবহার করে ক এর উত্তর নির্ণয় করা যায়।

খ এর উত্তর নির্ণয়ের সূত্র ১ নং এই দেওয়া আছে। এই সূত্র ব্যবহার করে বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করে তাকে ৫০০ দিয়ে গুণ করলেই উত্তর চলে আসবে।

সঠিক উত্তর:

ক) 2.7 বর্গ মিটার (প্রায়)
খ) 4319.69 টাকা বা 4320 টাকা (প্রায়)

সঠিক উত্তর দাতা দের নাম:
1. Faiyaz Zaman – ঢাকা