সাপ্তাহিক গণিত চিন্তা – ৪৭, এর সমাধান

প্রশ্নঃ সাপ্তাহিক গণিত চিন্তা – ৪৭

একটি a × b আকৃতির বক্স এ কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যার কোন গুণিতক কোন “ROW এবং COLUMN” এ আছে বা কোন “ROW এবং COLUMN” এ কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যার কোন গুণিতক আছে – এই গুলো বের করতে হলে একই ক্রমে সংখ্যা গুলো সেই বক্স এ সাজানো থাকতে হবে। তবে এলোমেলো কিছু সংখ্যা সেই বক্স এর মধ্যে সাজিয়ে রাখলে সম্ভব না।

এখানে 1001 × 1001 বক্স এর মধ্যে ৭ এর 1002001 টি গুণিতক উর্ধ্বক্রমে সাজান আছে। তাহলে প্রতিটি ROW তে ৭ এর 1001 করে গুণিতক আছে। আর একটা বিষয় লক্ষ্য রাখতে হবে যে আমাদের ROW এবং COLUMN 0 থেকে শুরু হয়েছে তাহলে শেষ হবে 1000 এ।

এখন আমরা “ক” নং প্রশ্নের উত্তর কি ভাবে বের করবো তা আলোচনা করি। 5262257 এই সংখ্যাটির (ROW,COLUMN) বের করতে হলে প্রথমে আমাদের জানতে হবে এই সংখ্যাটি ৭ এর কত তম গুণিতক। 7 এর কত তম গুণিতক তা জানার জন্য সংখ্যাটিকে 7 দিয়ে ভাগ করলেই পেয়ে যাব।

5262257 / 7 = 751751

ভাগ করে আমরা পেলাম, 5262257 সংখ্যাটি 7 এর 751751 তম গুণিতক। যেহেতু 7 এর গুণিতক গুলো প্রতিটি ROW তে 1001 টি করে আছে সেহেতু 7 এর 751751 কে 1001 দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল থেকে আমরা পেয়ে যাবো যে ঠিক কতগুলো ROW পার হলে আমাদের সংখ্যাটি রয়েছে। আবার ভাগশেষ থেকে কত নম্বর COLUMN এ সংখ্যাটি রয়েছে সেটি পেয়ে যাব।

751751 ভাগ 1001 = ভাগফল 751 এবং ভাগ শেষ 0

ভাগ করার পর ভাগফল 751 পেলাম। তারমানে সংখ্যাটি 751 টি ROW পরে অবস্থিত। 751 টি ROW অতিক্রম করার পরে ভাগশেষ সংখ্যক COLUMN অতিক্রম করলে আমরা সংখ্যাটি পাবো। কিন্তু এই ক্ষেত্রে ভাগশেষ 0। তাই 751 টি ROW অতিক্রম করার পরে আর কোন COLUMN অতিক্রম করার দরকার নেই। আমাদের সংখ্যাটি 751তম ROW এর সর্বশেষ COLUMN অর্থাৎ 1001 তম COLUMN এ অবস্থিত। এখন যেহেতু আমাদের গণনা শুরু হয়েছে 0 থেকে সেহেতু 751তম ROW এর ক্রমিক নম্বর হবে 751-1= 750 এবং 1001 তম COLUMN এর ক্রমিক নম্বর হবে 1001-1=1000। তাই আমাদের উত্তর হবে (750, 1000)।

গাণিতিক বাক্যের মাধ্যমে এই পুরো অংশটাকে প্রকাশ করলে,

১ম বাক্য, সংখ্যার ক্রম = সংখ্যার মান / যে সংখ্যার গুণিতক
২য় বাক্য, সংখ্যাটি যে ROW তে অবস্থিত সেই ROW এর ক্রম = সংখ্যার ক্রম/ প্রত্যেক ROW তে COLUMN সংখ্যা (ভাগফল অবশ্যই পূর্ণসংখ্যা হবে)
৩য় বাক্য, সংখ্যাটি যে COLUMN এ অবস্থিত সেই COLUMN এর ক্রম = সংখ্যার ক্রম mod প্রত্যেক ROW তে COLUMN সংখ্যা (mod বলতে ভাগশেষ নির্ণয় বুঝানো হয়েছে)
৪র্থ বাক্য, যদি COLUMN এর ক্রম = 0 হয়, তাহলে (ROW, COLUMN) = (ROW এর ক্রম – 1, প্রত্যেক ROW তে COLUMN সংখ্যা – 1); অন্যথায়, (ROW, COLUMN) = ( ROW এর ক্রম, COLUMN এর ক্রম – 1)।

এখন আমরা “খ” নং প্রশ্নের উত্তরে নিয়ে আলোচনা করবো। আমরা “ক” নং প্রশ্নের উত্তর বের করতে যা করেছি ঠিক তার উল্টোটা করবো এখানে। “খ” তে ROW এবং COLUMN দেয়া আছে। সেখানে ৭ এর কোন গুণিতক সংখ্যাটি কি হবে তা আমরা এখন দেখবো।

খ) (ROW = 721, COLUMN = 127) তে 7 এর কোন গুণিতক সংখ্যাটি আছে?

যেহেতু 0 থেকে ROW,COLUMN শুরু হয়েছে তাই ROW = 721 এবং COLUMN = 127 এই দুইটার ক্রম আগে ঠিক করে নিতে হবে। উপরের অংশে আমরা দেখেছি যে COLUMN এর ক্রম 0 হলে COLUMN নং হয় 1000 এবং ROW এর ক্রম থেকে 1 বিয়োগ করে ROW নং হিসাব করতে হয়; অন্য সব ক্ষেত্রে ROW এর ক্রম আর ROW নং একই থাকে এবং COLUMN এর ক্রম থেকে 1 বিয়োগ হয়। এর ঠিক উল্টোটাই এখানে করতে হবে। অর্থাৎ, যদি COLUMN নং 1000 হয় তাহলে ROW নং এর সাথে 1 যোগ করে ROW এর ক্রম নির্ণয় করতে হবে ও COLUMN এর ক্রম হবে 0; অন্য সব ক্ষেত্রে ROW নং আর ROW এর ক্রম একই হবে এবং COLUMN নং এর সাথে 1 যোগ করে COLUMN এর ক্রম পাওয়া যাবে। তাহলে এখানে ROW এর ক্রম = 721, COLUMN এর ক্রম = (127+1) = 128 হবে। অর্থাৎ, নির্ণেয় সংখ্যাটি পেতে হলে আমাদের 721 টি সম্পূর্ণ ROW অতিক্রম করার পরেও আরো 128 টি COLUMN অতিক্রম করতে হবে।

তারমানে 721 এর সাথে 1001 গুণ করে গুণফল এর সাথে 128 যোগ করলে আমরা পেয়ে যাবো ৭ এর কত তম গুণিতক ঐ অবস্থানে আছে।

(721 × 1001) + 128 = 721849

উপরের হিসাব থেকে আমরা 7 এর 721849 তম গুণিতক সেটা পেলাম। এই সংখ্যার সাথে 7 গুণ করলেই আমরা পেয়ে যাবো ঐ ROW,COLUMN এ কোন সংখ্যা আছে।

721849 × 7 = 5052943

এটাকেও গাণিতিক বাক্যের মাধ্যমে প্রকাশ করা হলে,

১ নং বাক্য, যদি COLUMN নং = (প্রত্যেক ROW তে COLUMN সংখ্যা – 1) হয়, তাহলে ROW এর ক্রম = ROW নং + 1 এবং COLUMN এর ক্রম = 0; অন্যথায়,
ROW এর ক্রম = ROW নং এবং COLUMN এর ক্রম = COLUMN নং + 1
২ নং বাক্য, সংখ্যার ক্রম = (ROW এর ক্রম * প্রত্যেক ROW তে COLUMN সংখ্যা) + COLUMN এর ক্রম
৩নং বাক্য, সংখ্যার মান = সংখ্যার ক্রম * যে সংখ্যার গুণিতক।

সঠিক উত্তর হচ্ছে,
ক) Row = 750, Column = 1000 বা (750, 1000)
খ) 5052943

সঠিক উত্তর দাতা দের নাম:
1. Niloy Paul – Mymensingh
2. Bishnu Das – Panchagarh
3. আব্দুর রহমান নাহিদ – কুষ্টিয়া
4. PRABIR DAS – NORTH 24 PARGANAS
5. Shourav Ghosh – Jashore
6. RUSSELL ABDULLAH – South 24 Pgs
7. Sohan – Bogura
8. Shahriar Amin Arif – Sylhet
9. Partho Sarathi – Rangpur