সাপ্তাহিক গণিত চিন্তা – ০০৭, এর সমাধান

এখানে 810000 টি লজেন্স আছে।

বাচ্চাদের দলগুলো এমন ভাবে তৈরি করতে হবে যাতে করে দলের সবাই সমান সংখ্যক লজেন্স পায়। তারমানে হলো দলের শিশুর সংখ্যা দ্বারা লজেন্সের সংখ্যা বিভাজ্য হতে হবে। তাহলে 810000 এর যতো গুলো উৎপাদক বা গুননীয়ক আছে ঠিক তত গুলোই দল তৈরি করা সম্ভব এটা আমরা সহজেই বুঝতে পারছি।

কিন্তু সমস্যাটা হলো এতো বড় সংখ্যার উৎপাদক গুলো বের করতে হলে আমাদের বেশ খানিকটা সময় ব্যয় করতে হবে। উৎপাদক বের করার সাধারণ নিয়ম হলো 1 থেকে শুরু করে ঐ সংখ্যা পর্যন্ত সব গুলো সংখ্যা দিয়ে ভাগ করে দেখা। সব গুলো দিয়ে না হলেও অন্তত 810000 এর বর্গ মূল 900 পর্যন্ত ভাগ করে দেখতে হবে। কিন্তু 900 পর্যন্ত ভাগ করে দেখাও সহজ কাজ না।

কেন শুধু বর্গ মূল পর্যন্ত ভাগ করে দেখলেই হবে এই বিষয়ে জানতে এই গল্প টা পড়ুন।

এখন আমরা কিভাবে সহজে সমাধান করতে পারি সেটা দেখি। আমরা প্রথমে 810000 এর মৌলিক উৎপাদক বের করবো। তারপর কম্বিনেটরিক্স এর সূত্র দিয়ে সমাধান করবো।

810000 কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পেলাম,
2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 3 x 5 x 5 x 5 x 5

এটাকে মৌলিক উৎপাদকগুলোর পাওয়ার হিসেবে লিখলে,
2^4 x 3^4 x 5^4

এখন সব গুলো পাওয়ার এর সাথে ১ যোগ করে গুণ করলেই, ৮১০০০০ এর যতো গুলো উৎপাদক আছে সেটা জানতে পারব।

(4+1) x (4+1) x (4+1)
5 x 5 x 5 = 125

তাহলে 125 টি দল এ ভাগ করা সম্ভব।

পাওয়ার এর সাথে 1 যোগ করে গুণ করে কেন কোন সংখ্যার কত গুলো উৎপাদক পাওয়া যাবে, তা আমরা যখন কম্বিনেটরিক্স নিয়ে আলোচনা করবো তখন বুঝতে পারব।