সাপ্তাহিক গণিত চিন্তা – ০১০, এর সমাধান

প্রশ্নঃ সাপ্তাহিক গণিত চিন্তা – ০১০

সমাধানঃ ৭

বিস্তারিত:

আজকের সমাধানের জন্য আমরা সূচক ও মডুলার এরিথমেটিক এর খুব সাধারণ দুটি সূত্র ব্যবহার করব।

৩২^৩২ কে আমরা সূচকের জ্ঞান ব্যবহার করে এভাবে লিখতে পারি,

(((((৩২^২)^২)^২)^২)^২)

আবার মডুলার এরিথমেটিক এর নিয়ম অনুসারে,

(a x b) mod c = ( (a mod c) x (b mod c) ) mod c

কাজেই,
(a³²) mod c = ((a¹⁶) mod c x (a¹⁶) mod c) mod c

(a¹⁶) mod c = ((a⁸) mod c x (a⁸) mod c) mod c

(a⁸) mod c = ((a⁴) mod c x (a⁴) mod c) mod c

(a⁴) mod c = ((a²) mod c x (a²) mod c) mod c

(a²) mod c = ((a) mod c x (a) mod c) mod c

এখন উপরের আলোচনা লব্ধ জ্ঞান ব্যবহার করে আমরা সমাধান করার চেষ্টা করবো।

আমরা (৩২^৩২) mod ৯ কে লিখতে পারি,

(((((৩২^২)^২)^২)^২)^২) mod ৯

আমরা শুরু করবো একেবারে ভেতরের অংশ অর্থাৎ ৩২^২ mod ৯ দিয়ে।

(৩২^২) mod ৯ = (৩২x৩২) mod ৯ = ((৩২ mod ৯)x(৩২ mod ৯)) mod ৯ = (৫x৫) mod ৯ = ৭

কাজেই এই ধাপের পরে, আমরা লিখতে পারি,

(((((৩২^২)^২)^২)^২)^২) mod ৯
= ((((৭^২)^২)^২)^২) mod ৯

আবার, ৭^২ = ৪৯ আর ৪৯ mod ৯ = 8।
অতএব,
(((((৩২^২)^২)^২)^২)^২) mod ৯
= (((৪^২)^২)^২) mod ৯

আবার, ৪^২ = ১৬ আর ১৬ mod ৯ = ৭।
অতএব,

(((((৩২^২)^২)^২)^২)^২) mod ৯
= ((৭^২)^২) mod ৯
= (৪^২) mod ৯ [ আমরা আগেই দেখেছি যে (৭^২) mod ৯ = ৪]
= ৭

কাজেই আমাদের উত্তর হবে, ৭।

এই নিয়ম ব্যবহারের সুবিধা হলো,

১. জটিল কোন গাণিতিক হিসাব বা তত্ত্ব জানার দরকার নেই।
২. পাওয়ার যত বড়ই হোক না কেন সমস্যা নেই।

সঠিক উত্তর দাতা দের নাম:
১। Adrija Saha – Dhaka
২। Karabi kumari medha – Dhaka
৩। Md Muqtadir Fuad – Faridpur
৪। Md.Sakibul Islam Siam – Sirajganj
৫। Abdur Rakib – Gopalganj
৬। MD Mahir Hossain – Gazipur
৭। Farzana Akter – Pabna
৮। Sanjaraf Islam – Chuadanga
৯। Mahdi Ahmed Mahi – Sylhet