সাপ্তাহিক গণিত চিন্তা – ০১১, এর সমাধান

প্রশ্নঃ সাপ্তাহিক গণিত চিন্তা – ০১১

সমাধানঃ ১৬৪৯৮

এই সমস্যা মূলত n ফ্যাক্টরিয়াল (n!) রিলেটেড। আরো নির্দিষ্ট করে বলতে গেলে n! এর মধ্যে কোন নির্দিষ্ট মৌলিক সংখ্যা P মোট কতবার আছে- এই সমস্যাটা সেই বিষয় সম্পর্কিত।

আমরা জানি, যে কোনো সংখ্যার মৌলিক গুণনীয়ক বের করলে সেই সংখ্যায় কোন কোন মৌলিক সংখ্যা আছে এবং কয়টা করে আছে তা সহজে বলা যায়।

n ফ্যাক্টরিয়াল মানে ১ থেকে n পর্যন্ত যতো গুলো সংখ্যা আছে তার গুণফল। এখন যদি বলা হয় ১ থেকে ৭ এর মধ্যে কত গুলো ৩ আছে তাহলে ১ থেকে ৭ এর মধ্যে সব গুলো সংখ্যার মৌলক উৎপাদক না বের করে শুধু ৭ ফ্যাক্টরিয়ালের মৌলিক গুণনীয়ক বের করলেই কয়টা ৩ আছে আমরা জানতে পাররো অথবা ৭ ফ্যাক্টরিয়ালকে ৩ দ্বারা যত বার ভাগ করা যাবে শুধু তত বার ভাগ করলেই হবে।

৭! = ৫০৪০

৫০৪০ কে ৩ দিয়ে ভাগ করে ১৬৮০ পাওয়া যাবে, ১৬৮০ কে ৩ দিয়ে ভাগ করে ৫৬০ পাওয়া যাবে, ৫৬০ আবার ৩ দিয়ে ভাগ করলে পূর্ণ সংখ্যা আসে না। এ থেকেই বুঝা যাচ্ছে যে ১ থেকে ৭ এর মধ্যে বা ৭ ফ্যাক্টরিয়ালের মধ্যে ২ টার বেশি ৩ থাকা সম্ভব না।

এখন আমরা মূল সমস্যা তে আসি, ১০০০ থেকে ১০০০০০ সংখ্যার মৌলিক গুণনীয়কের গুলোর মধ্যে কত গুলো ৭ আছে বের করতে হবে।

তাহলে আমাদের মাথাই সহজেই যেই ভাবনা টা আসবে, তা হলো ১০০০০০ ফ্যাক্টরিয়ালের মৌলিক গুণনীয়কের মধ্যে যত গুলো ৭ আছে তা বের করে, ৯৯৯ ফ্যাক্টরিয়ালের মৌলিক গুণনীয়কের মধ্যে যত গুলো ৭ আছে সেটা তা বাদ দিয়ে দিলেই আমারা আমদের উত্তর পেয়ে যাবো।

কিন্তু সমস্যা হলো এতো বড় সংখ্যার ফেক্টরিয়াল বের করা সম্ভব না। আমারা সাধারণত ক্যাকুলেটর দিয়ে সর্বোচ্চ ২৯ এর বেশি বের করতে পারিনা।

এই জিনিস টা বের করার আরো একটা সহজ সূত্র আছে। যেমন, ১ থেকে ১০ এর মধ্যে কত গুলো ২ আছে যদি বার করতে চাই তাহলে,

১০ / ২ = ৫
৫ / ২ = ২ (শুধু ভাগ ফল নেওয়া হয়েছে)
২ / ২ = ১

৫ + ২ + ১ = ৮

তার মানে কোন সংখ্যার ফ্যাক্টরিয়ালের মধ্যে কোন নির্দিষ্ট মৌলিক সংখ্যা কয় বার আছে সেটা বের করতে চাইলে ঐ সংখ্যাটিকে আমরা মৌলিক সংখ্যাটি দিয়ে ভাগ করতে থাকবো। যতক্ষণ না ভাগ ফল শূন্য না হবে ততক্ষণ আমরা আমরা ভাগ করে যাবো এবং প্রত্যেক বারের ভাগফল লিখে রাখব। যখন ভাগফল শূন্য হবে, তখন সবগুলো ভাগফল যোগ করলেই আমরা পেয়ে যাব যে ঐ সংখ্যার ফ্যাক্টরিয়ালের মধ্যে মোট কতবার ঐ নির্দিষ্ট মৌলিক সংখ্যা উপস্থিত আছে।

এই নিয়মটি একটি সূত্র এর সাহায্যে প্রকাশ করা যায়। সূত্রটি লেগরেন্ড এর সূত্র নামে পরিচিত।

সঠিক উত্তর দাতা দের নাম:
১। MD. Sakibul Islam Siam(S TG) – Sirajganj
২। Md Muqtadir Fuad – Faridpur
৩। Sumon Ahmed – Sirajganj
৪। Rumisha Siddiqua – Sylhet