সাপ্তাহিক গণিত চিন্তা – ০১২, এর সমাধান

প্রশ্নঃ সাপ্তাহিক গণিত চিন্তা – ০১২

সমাধানঃ ১৪০৭৩৭৪৮৯ বা (১৪০৭৩৭৪৮৮ দশমিক সামথিং) উত্তর দিয়েছে তাদের উত্তর সঠিক হিসেবে ধরা হয়েছে।

বিস্তারিতঃ

প্রথমেই বলে নেই যে, একদম প্রথম পর্যায়ে টাকার হিসাবটা বাদে বাকি অংশ একেবারেই সহজ।

মিস সরকার মন্দিরে কত টাকা দিলো সেটা হিসাব করাই আসল সমস্যা। সে 1 টাকা দিয়ে দান করা শুরু করেছে এবং 62 দিন প্রত্যেক দিন আগের দিনের দ্বিগুন টাকা দান করেছে। তার মানে তার দানের পরিমান,

1+2+4+8+16+…….. এই রকম। আরো ভালো মতো চিন্তা করলে,
1 + (1 x 2) + (2 x 2) + (4 x 2) + ….. এই রকম।

আমরা দেখতে পাচ্ছি পাশাপাশি দুইটা সংখ্যার অনুপাত সব সময় 2। একে পদ সমূহের সাধারণ অনুপাত বলে।

এই রকম ধারাকে গুনোত্তর ধারা (Geometric Progression) বলে এবং এই ধারার সমষ্টি (Geometric Series) নির্ণয়ের জন্য বেশ সহজ সূত্র আছে। সূত্রটি হচ্ছে,

যদি কোন গুনোত্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত r, এবং পদ সংখ্যা n হয়, তাহলে ঐ ধারার সমষ্টি S = a x ((rⁿ)-1)/(r-1) , যেখানে r > 1

আমাদের আলোচ্য ক্ষেত্রে, a = 1, r = 2, এবং n = 62.

অতএব মোট টাকা = 1*((2^62)-1)/(2-1) = 2^62 – 1

এবার স্বর্ণ কেনার পালা। 10 গ্রাম স্বর্ণের যে দামটা দেওয়া আছে সেই দামটাকে আসলে 2^16 লেখা যায়।

কাজেই ক্রয়কৃত স্বর্ণের পরিমান = ((2⁶² – 1) / 2¹⁶ ) x 10 গ্রাম = 2⁴⁶ x 10 গ্রাম [ এখানে খুব ক্ষুদ্র একটা পরিমান 10/2¹⁶ কে অগ্রাহ্য করা হয়েছে]

এই পরিমাণ টাকে কেজিতে পরিণত করে, সেটাকে খুব সহজেই টনে রূপান্তরিত করা যায়। [ 1 টন = 1000 কেজি]

এবার টনে পরিণত করা স্বর্ণকে 5 টনের ট্রাকে কয়বার নেওয়া যায় সেটি হিসাব করতে হবে। হিসাবে ভগ্নাংশ একটা উত্তর আসবে যেটাকে আমরা পরবর্তী পূর্ণ সংখ্যায় নিয়ে নেবো। কারণ ট্রাক তো আর ভগ্নাংশ হয় না!

এইবার এই পূর্ণ সংখ্যাটিকে 1 দিয়ে গুন করলেই আমরা আমাদের কাঙ্খিত সময় পেয়ে যাব সেকেন্ড এককে।

2⁴⁶ অনেক বড় একটা সংখ্যা। কাজেই সঠিক উত্তর পাওয়ার জন্য বড় একটা ক্যালকুলেটর ব্যবহার করতে হবে অথবা খাতা-কলমে করতে হবে।

সঠিক উত্তর দাতা দের নাম:
১. Rumisha Siddiqua – Sylhet
২. Md Muqtadir Fuad – Faridpur
৩. Sumon Ahmed – Sirajganj
৪. Farzana Ritu – Pabna
৫. MD FARDIN – কুমিল্লা