সাপ্তাহিক গণিত চিন্তা – ০২৫, এর সমাধান

প্রশ্নঃ সাপ্তাহিক গণিত চিন্তা – ০২৫

সম্ভাবনার একদম মৌলিক সূত্রটি হলো:

কোন ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা = (উক্ত ঘটনার অনুকূলে সংঘটিত ঘটনা সংখ্যা)/(উক্ত ঘটনা জগতে সংঘটিত মোট ঘটনা সংখ্যা)

তিনটি দরজার পেছনে তিনজন ব্যক্তি আছেন যাদের মধ্যে একজন চাষীর ছেলে। রাজকন্যা দৈবচয়ণে (random selection) একটি দরজা বেছে নিয়েছেন। কাজেই, দরজার পিছনে চাষীর ছেলের থাকার অনুকূলে ঘটনা সংখ্যা 1 (কারণ কেবল একটি দরজার পেছনেই তিনি থাকতে পারেন) এবং এই ঘটনা জগতে মোট ঘটনার সংখ্যা 3 (তিনটি বন্ধ দরজা রয়েছে)।

তাই, রাজকন্যার বেছে নেওয়া দরজার পিছনে চাষীর ছেলের থাকার সম্ভাবনা = 1/3, যা প্রশ্ন ক এর উত্তর।

প্রশ্ন খ তে জানতে চাওয়া হয়েছে একটু ভিন্ন একটা জিনিস। রাজকন্যার পছন্দের দরজা বাদে বাকি দুইটি দরজার একটি (যার পেছনে চাষীর ছেলে নেই) দরজা মহারাজ খুলে দেখবেন। এবং রাজকন্যাকে বাকি দরজাটি বেছে নেওয়ার সুযোগ দেবেন। এখানে লক্ষ্য করার বিষয় হচ্ছে, যদি রাজকন্যা তার পছন্দ বদলে বাকি দরজাটি বেছে নেয়, তাহলে আর দৈবচয়নের ব্যাপারটা থাকে না। আমরা আরেকটু ব্যাখ্যা করি:

মনে করি রাজকন্যা 1 নং দরজা বেছে নিয়েছে। কাজেই তিনটি ভিন্ন ঘটনা ঘটতে পারে।

পরিস্থিতি 1: 1 নং দরজায় চাষীর ছেলে থাকতে পারে
পরিস্থিতি 2: 2 নং দরজায় চাষীর ছেলে থাকতে পারে
পরিস্থিতি 3: 3 নং দরজায় চাষীর ছেলে থাকতে পারে

পরিস্থিতি 1 এ, মহারাজ 2 বা 3 নং দরজা খুলে দেখবেন এবং বাকি দরজাটি বেছে নেবার সুযোগ দেবেন। এই পরিস্থিতিতে যদি রাজকন্যা তার আদি পছন্দ বদলে বাকি দরজাটি বেছে নেয় তাহলে চাষীর ছেলের সাথে তার বিয়ে হবে না (কেননা দুটি দরজার একটার পেছনেও চাষীর ছেলে নেই)।

পরিস্থিতি 2 এ, মহারাজ 3 নং দরজা খুলে দেখাবেন (কারণ তিনি জানেন যে 2 নং এর পেছনে চাষীর ছেলে আছে) এবং 2 নং দরজা বেছে নেবার সুযোগ দেবেন। এই পরিস্থিতিতে যদি রাজকন্যা তার আদি পছন্দ বদলে বাকি দরজাটি বেছে নেয় তাহলে চাষীর ছেলের সাথে তার বিয়ে হবে (কেননা 2 নং দরজার পেছনেই চাষীর ছেলে আছে)।

পরিস্থিতি 3 এ, মহারাজ 2 নং দরজা খুলে দেখাবেন (কারণ তিনি জানেন যে 3 নং এর পেছনে চাষীর ছেলে আছে) এবং 3 নং দরজা বেছে নেবার সুযোগ দেবেন। এই পরিস্থিতিতে যদি রাজকন্যা তার আদি পছন্দ বদলে বাকি দরজাটি বেছে নেয় তাহলে চাষীর ছেলের সাথে তার বিয়ে হবে (কেননা 3 নং দরজার পেছনেই চাষীর ছেলে আছে)।

কাজেই আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, রাজকন্যা যদি তার পছন্দ বদলায় তাহলে ঘটনা ক্ষেত্রের ( 3 টি পরিস্থিতির) 2 টি ঘটনাই রাজকন্যার অনুকূলে (চাষীর ছেলেকে বিয়ে করতে পারার) যাবে।

কাজেই পছন্দ বদলালে চাষীর ছেলের সাথে রাজকন্যার বিয়ে হবার সম্ভাবনা = 2/3, যা খ নং প্রশ্নের উত্তর।

কাজেই সঠিক উত্তর হবে:
ক) 1/3
খ) 2/3

উল্লেখ্য যে, খ নং প্রশ্নটি “Monty Hall Problem”, “Three Prisoners Problem” এবং “Bertrand’s Box Paradox” এর সাথে সম্পর্কিত।

সঠিক উত্তর দাতা দের নাম:
1. S.MAHDI AL HASAN – Moulvibazar
2. Jubayer Ahmed – Moulvibazar
3. Prakriti Roy Purnava – Sylhet
4. Umme Salma Mim – Chattogram
5. Neha Roy – Rajshahi
6. Tanha Akhter – Moulvibazar
7. Farzana Akter(Ritu) – Pabna