সাপ্তাহিক গণিত চিন্তা – ০৩০, এর সমাধান

প্রশ্নঃ সাপ্তাহিক গণিত চিন্তা – ০৩০

এই সমস্যার সমাধানের জন্য আমাদের একটি উপপাদ্য জানতে হবে যার নাম “গাণিতিক গড়-জ্যামিতিক গড় উপপাদ্য”। এই উপপাদ্য অনুযায়ী,

কয়েকটি সংখ্যার গাণিতিক গড়, তাদের জ্যামিতিক গড়ের সমান বা তার থেকে বেশি।

গাণিতিক ভাবে প্রকাশ করলে,

x, y ও z তিনটি সংখ্যা হলে, (x+y+z)/3 >= (xyz)^(1/3)

এখন আমরা আমাদের মূল সমস্যার সমাধানে আসি। তিনজনের টাকার পরিমান যথাক্রমে a, b ও c টাকা। এবং তাদের মোট টাকার পরিমান 1 টাকা। অর্থাৎ,
a + b + c= 1

এখন, ব্যবসা শেষে a টাকা b গুণ, b টাকা c গুণ এবং c টাকা a গুণ হয়। অর্থাৎ, তাদের মোট টাকা দাঁড়ায় ab + bc +ca। এখান থেকে যদি 2ab*c টাকা দিয়ে দেওয়া হয়, তাহলে অবশিষ্ট মোট টাকার পরিমান = ab + bc + ca -2abc

এই টাকার সর্বনিম্ন ও সর্বোচ্চ সম্ভাব্য মান আমাদের বের করতে হবে।

এখন,

(1 – 2a)(1-2b)(1-2c)
= (1-2a-2b+4ab)(1-2c)
= (1-2a-2b+4ab-2c+4ca+4bc-8abc)
=1 -2(a+b+c) +4(ab+bc+ca-2abc)
=4(ab+bc+ca-2abc) -1

অতএব, ab+bc+ca – 2abc = {(1 – 2a)(1-2b)(1-2c)/4} +1/4

গাণিতিক গড়-জ্যামিতিক গড় উপপাদ্য থেকে আমরা দেখতে পাই যে,
[{(1 – 2a)+(1-2b)+(1-2c)}/3] >= {(1 – 2a)(1-2b)(1-2c)}^(1/3)

অতএব, (1 – 2a)(1-2b)(1-2c) <= [{(1 – 2a)+(1-2b)+(1-2c)}/3]^3

এখন, [{(1 – 2a)+(1-2b)+(1-2c)}/3]^3
= {(1-2a+1-2b+1-2c)/3}^3
=[{3-2(a+b+c)}/3]^3
= (1/3)^3= 1/27

অতএব, (1 – 2a)(1-2b)(1-2c) <= 1/27
অর্থাৎ, ab + bc + ca – 2abc <= (1/4)*(1/27)+1/4
বা, ab + bc + ca – 2abc <= 7/27

অর্থাৎ তাদের কাছে থাকা টাকার সর্বোচ্চ পরিমান হতে পারে 7/27। আর সর্বনিম্ন সম্ভাব্য পরিমান বের করা বেশ সহজ। কেননা, এই মান হচ্ছে 0। যদি a=0, b=0 এবং c= 1 হয়, তাহলে ab + bc + ca – 2abc=0।

তাই,
১। তাদের কাছে যে টাকা অবশিষ্ট রইলো তার সর্বনিম্ন সম্ভাব্য পরিমান= 0 টাকা
২। তাদের কাছে সর্বোচ্চ 7/27 টাকা অবশিষ্ট থাকা সম্ভব

সঠিক উত্তর দাতা দের নাম:
দু:খজনকভাবে, এই প্রশ্নের সঠিক উত্তর কেউই দিতে পারেননি।