সাপ্তাহিক গণিত চিন্তা – ৪০, এর সমাধান

এইবারের সমস্যার সমাধানের আলোচনাটা বেশ দীর্ঘ। আমরা দুইটি ভিন্ন পদ্ধতিতে তিন উপায়ে সমস্যাটির সমাধান নিয়ে আলোচনা করব। ১ নং পদ্ধতি হচ্ছে মডুলার এরিথমেটিক বা ভাগশেষ সংক্রান্ত পাটিগণিত। আর ২ নং পদ্ধতি হচ্ছে সাধারণ বীজগণিত।

১ নং পদ্ধতি – উপায় ১:

যদি আমরা ধরে নিই যে প্রত্যেক বাক্সে প্যাকেট সংখ্যা x তাহলে সমস্যা থেকে আমরা দেখতে পাই যে, প্রথম শ্রেণিতে প্যাকেট লাগে 5x+2, দ্বিতীয় শ্রেণিতে প্যাকেট লাগে 6x+4 এবং তৃতীয় শ্রেণিতে প্যাকেট লাগে 4x+1টি। আরো দেখতে পাই যে উপোরোক্ত তিন শ্রেণির প্যাকেট সংখ্যা যথাক্রমে 9, 8 এবং 7 দ্বারা বিভাজ্য। তাই গাণিতিক প্রতীক ব্যবহার করে লেখা যায়,

9|(5x+2), 8|(6x+4) বা 4|(3x+2) এবং 7|(4x+1)।

[দ্রষ্টব্য : a|b কে পড়া হয়, a divides b বা a দ্বারা b নিঃশেষে বিভাজ্য]

মডুলার কনগ্রুয়েন্স ব্যবহার করে উপরের জিনিসটাকেই এভাবে লেখা যায়,

(5x+2) is congruent to 0 (mod 9)
বা, 5x is congruent to 7 (mod 9),
(3x+2) is congruent to 0 (mod 4)
বা, 3x is congruent to 2 (mod 4) এবং
(4x+1) is congruent to 0 (mod 7)
বা, 4x is congruent to 6 (mod 7)।

এখন লিনিয়ার কনগ্রুয়েন্স এর সরলীকরণ পদ্ধতি ব্যবহার করে লেখা যায়,

x is congruent to 5 (mod 9),
x is congruent to 2 (mod 4) এবং
x is congruent to 5 (mod 7)।

এবার এই তিনটি বাক্যের উপর চাইনিজ ভাগশেষ উপপাদ্য বা চাইনিজ রিমেইন্ডার থিওরেম ব্যবহার করলে আমরা পাবো,

x is congruent to 194 (mod 252)

অর্থাৎ, x এর সর্বনিম্ন সম্ভাব্য মান 194। অর্থাৎ একটি বাক্সে সর্বনিম্ন 194 প্যাকেট আচার থাকা সম্ভব।

১নং পদ্ধতি – উপায় ২

যদি আমরা ধরে নিই যে প্রত্যেক বাক্সে প্যাকেট সংখ্যা x তাহলে সমস্যা থেকে আমরা দেখতে পাই যে, প্রথম শ্রেণিতে প্যাকেট লাগে 5x+2, দ্বিতীয় শ্রেণিতে প্যাকেট লাগে 6x+4 এবং তৃতীয় শ্রেণিতে প্যাকেট লাগে 4x+1টি। তাহলে ১ম শ্রেণির একজন শিক্ষার্থী প্যাকেট পাবে (5x+2)/9 টি, ২য় শ্রেণির একজন শিক্ষার্থী প্যাকেট পাবে (6x+4)/8 বা, (3x+2)/4 টি এবং তৃতীয় শ্রেণির একজন শিক্ষার্থী প্যাকেট পাবে (4x+1)/7 টি।

অতএব, ১ম শ্রেণি, ২য় শ্রেণি ও তৃতীয় শ্রেণিতে পড়ুয়া তিন ভাই বোন মোট প্যাকেট পাবে,

(5x+2)/9 + (3x+2)/4 + (4x+1)/7

= (473x + 218)/252 টি।

যেহেতু স্পষ্টতই প্যাকেট সংখ্যা পূর্ণসংখ্যা, সেহেতু আমরা লিখতে পারি,

252|(473x+218)
বা, (473x + 218) is congruent to 0 (mod 252)
বা, 473x is congruent to 34 (mod 252)
বা, 221x is congruent to 34 (mod 252)

লিনিয়ার কনগ্রুয়েন্স সরলীকরণ এর নীতি থেকে আমরা জানি যে,

ax is congruent to b (mod c) হলে x is congruent to b*a^-1 (mod c) যেখানে a^-1 হচ্ছে c এর সাপেক্ষে a এর মডুলার মাল্টিপ্লিকেটিভ ইনভার্স।

252 এর সাপেক্ষে 221 এর মডুলার মাল্টিপ্লিকেটিভ ইনভার্স হচ্ছে 65। তাই,
221x is congruent to 34 (mod 252) কে লিখা যায়,

x is congruent to 34*65 (mod 252)
বা, x is congruent to 2210 (mod 252)
বা, x is congruent to 194 (mod 252)

অর্থাৎ, x এর সর্বনিম্ন সম্ভাব্য মান 194। অর্থাৎ একটি বাক্সে সর্বনিম্ন 194 প্যাকেট আচার থাকা সম্ভব।

২ নং পদ্ধতি:

এই পদ্ধতিতে আমরা সাধারণ বীজগণিত ব্যবহার করে সমস্যাটি সমাধান করব। যদি আমরা ধরে নিই যে প্রত্যেক বাক্সে প্যাকেট সংখ্যা x তাহলে সমস্যা থেকে আমরা দেখতে পাই যে, প্রথম শ্রেণিতে প্যাকেট লাগে 5x+2, দ্বিতীয় শ্রেণিতে প্যাকেট লাগে 6x+4 এবং তৃতীয় শ্রেণিতে প্যাকেট লাগে 4x+1টি। তাহলে ১ম শ্রেণির একজন শিক্ষার্থী প্যাকেট পাবে (5x+2)/9 টি, ২য় শ্রেণির একজন শিক্ষার্থী প্যাকেট পাবে (6x+4)/8 বা, (3x+2)/4 টি এবং তৃতীয় শ্রেণির একজন শিক্ষার্থী প্যাকেট পাবে (4x+1)/7 টি।

মনে করি, f, g, h, p, q ও r সকলেই ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

ধরি, (5x+2)/9 = p বা, 5x + 2 = 9p ——- (1)
এখন, x = 5 + 9f ধরে নিলে 1 নং সমীকরণ এর বামপক্ষ থেকে পাওয়া যায়, 5(5+9f)+2 = 25+45f+2 = 27+45f=9(3+5f) যা 1 নং সমীকরণ এর ডানপক্ষের অনুরূপ।
আবার, ধরি, (3x+2)/4 = q বা, 3x + 2 = 4q
বা, 3 (5+9f) + 2 = 4q বা, 4q = 27f + 17 —–(2)
এখন, f = 1 + 4g ধরে নিলে 2 নং সমীকরণ এর ডান পক্ষ থেকে পাওয়া যায়, 27(1+4g)+17 = 27+108g+17=44+108g=4(11+27g) যা 2 নং সমীকরণ এর বামপক্ষের অনুরূপ।
আবার ধরি, (4x+1)/7 = r বা, 4x +1 = 7r
বা, 4(5+9f)+1=7r
বা, 21+36f =7r
বা, 21+36(1+4g)=7r
বা, 57+144g=7r ——-(3)
এখন, g= 7h – 2 ধরলে, 3 নং সমীকরণ এর বামপক্ষ হতে পাই, 57+144(7h-2) = 144*7h – 231= 7(144h – 33) যা উক্ত সমীকরণ এর ডান পক্ষের অনুরূপ।
অতএব,

4x+1 = 144*7h – 231
বা, 4x = 144*7h -232
বা, x = 38*7h – 58

h এর সর্বনিম্ন সম্ভাব্য মান 1। তাই x এর সর্বনিম্ব সম্ভাব্য মান = 38*7-58 = 194।

অর্থাৎ একটি বাক্সে সর্বনিম্ন 194 প্যাকেট আচার থাকা সম্ভব।

একটি বাক্সে প্যাকেট সংখ্যা জানা থাকলে খ এর উত্তর নির্ণয় খুবই সহজ। খ এর উত্তর হবে = (473 * 194 + 218) / 252 = 365

সঠিক উত্তর: ক) 194 খ) 365

সঠিক উত্তর দাতা দের নাম:
1. Niloy Paul – Mymensingh
2. তমালিকা মজুমদার – ঢাকা
3. Partha Mazumdar – ঢাকা