সাপ্তাহিক গণিত চিন্তা – ৫৭ – (O), এর সমাধান

প্রশ্নঃ সাপ্তাহিক গণিত চিন্তা – ৫৭ – (O)

ত্রিভুজ সংক্রান্ত ত্রিকোণমিতিক সূত্রাবলী থেকে আমরা জানি,

ABC ত্রিভুজের তিনটি শির:কোণ A, B, C এবং তাদের বিপরীত বাহুগুলো a, b, c হলে,

acosB + bcosA= c এবং
a/sinA = b/sinB = c/sinC = ধ্রুবক।

কাজেই, প্রদত্ত PQR ত্রিভুজের ক্ষেত্রে

p cosQ + q cosP = r —-(1)
আবার দেওয়া আছে যে,

p cos Q – q cos P = 3r/5 —-(2)

এখন 1 ও 2 হতে পাই,

p cos Q = 4r/5 এবং q cos P = r/5

অতএব, tan P × cotQ
= (sinP × cosQ) / (cosP × sinQ)
= (sinP/sinQ) × (cosQ/cosP)
= (p/q) × (cosQ/cosP)
= (p cosQ / q cosP)
= (4r/5) / (r/5)
= 4

আবার যদি ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু হয় তাহলে ধরি, p=q। অর্থাৎ, p+p+r = 2010 বা, r = 2010 – 2p

অতএব, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = 0.25 × r × sqrt(4p^2 – r^2)
= 0.25 × (2010 – 2p) × sqrt{4p^2 – (2010 – 2p)^2}
= 0.5 × (1005 – p) × sqrt{8040(p – 502.5)}
= 0.5 × sqrt(8040) × sqrt{(p – 502.5)(1005 -p)^2}

এখন এটা স্পষ্ট যে ক্ষেত্রফলের সর্বোচ্চ মান নির্ভর করবে (p – 502.5)(1005 -p)^2 এর সর্বোচ্চ মানের উপর। ফাংশনের লঘুমান ও গুরুমান নির্ণয়ের নিয়মে বেশ সহজেই (p – 502.5)(1005 -p)^2 এর সর্বোচ্চ মান পাওয়া যায়। দেখা যায় যে p = 670 এর জন্য (p – 502.5)(1005 -p)^2 এর সর্বোচ্চ মান পাওয়া সম্ভব।

p = 670 বসিয়ে ক্ষেত্রফল এর সর্বোচ্চ মান পাওয়া যায় 194379.4 বর্গমিটার (প্রায়)

সঠিক উত্তর:
ক) 4
খ) 194379.4 বর্গমিটার (প্রায়)

সঠিক উত্তর দাতা দের নাম:
এই প্রশ্নের পূর্ণাঙ্গ সঠিক উত্তর কেউই দিতে পারে নি।