সাপ্তাহিক গণিত চিন্তা – ০০৮ এর সমাধান

যদিও আমাদের প্রচলিত গণিত শিক্ষার বইগুলোতে ভাগশেষ নির্ণয় নিয়ে তেমন গুরুত্বের সাথে আলোচনা করা নেই, তবুও মনে রাখতে হবে যে জিনিসটা বেশ গুরুত্বপূর্ণ। “মডুলার এরিথমেটিক” নামে একটা শাখাই আছে ভাগশেষ নির্ণয় নিয়ে।

সেটা নিয়ে একটু আলোচনা করা যাক। মনে করি, একটি সংখ্যা আছে x যাকে y দ্বারা ভাগ করে ভাগশেষ বের করতে হবে। এই ক্ষেত্রে ভাগশেষ কে আমরা লিখি

x mod y

এখন ধরি x কে a, b ও c এর যোগফল হিসেবে লিখা যায়। অর্থাৎ,

x = a + b + c

তাহলে, x mod y = (a + b + c) mod y

এখানেই আমরা একটা সূত্র শিখবো। সেটা হলো,

(a + b + c) mod y = ( (a mod y) + (b mod y) + (c mod y) ) mod y

একটা উদাহরণ দিই। 43 কে 8 দ্বারা ভাগ করলে ভাগ শেষ থাকে 3। অর্থাৎ

43 mod 8 = 3

আবার 43 কে আমরা লিখতে পারি 15 + 17 + 11

অতএব, (15 + 17 + 11) mod 8

= ( (15 mod 8) + (17 mod 8) + (11 mod 8) ) mod 8
= ( 7 + 1 + 3 ) mod 8
= 11 mod 8
= 3

এই নিয়ম গুনের ক্ষেত্রেও কাজ করে। যেমন,

x = p*q*r হলে,

x mod y = ( (p mod y) * (q mod y) * (r mod y) ) mod y

এখন যেহেতু মডুলার এরিথমেটিক নিয়ে কিছু আলোচনা হয়েছে, আমরা আমাদের সাপ্তাহিক গনিত চিন্তার সমাধানে চলে যাই।

যারা সঠিক উত্তর দিয়েছে তারা বেশিরভাগই “দ্বিপদী উপপাদ্য ও বিস্তৃতি (binomial theorem and expansion)”র মাধ্যমে সমাধান করেছে। যদিও আমাদের নিজেদের সমাধান ছিলো অন্য একটি নিয়মে, তবুও আমরা দ্বিপদী বিস্তৃতির মাধ্যমে সমাধানটিই আলোচনা করছি।

আগেই বলে রাখি, দ্বিপদী বিস্তৃতি সম্পর্কে জানতে হলে, নবম-দশম শ্রেণীর উচ্চতর গণিত বই, অথবা উচ্চ মাধ্যমিক শ্রেণীর উচ্চতর গণিত বই পড়তে হবে। দ্বিপদী উপপাদ্যের একটি অনুসিদ্ধান্ত এরকম,

আমরা 64^64 কে ইচ্ছে করলে ( 1 + 63) ^ 64 লিখতে পারি। এখানে 63 সংখ্যাটি 9 দ্বারা বিভাজ্য। কাজেই 63 কে বা 63 এর কোন গুণিতককে 9 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে শূন্য।

দ্বিপদী বিস্তৃতির সূত্রটি ভালো করে লক্ষ্য করলে আমরা দেখতে পাই ,

(1 + y)^n এর বিস্তৃতিতে প্রথম পদ 1 বাদে বাকি সব পদের সাথে y বা y এর কোন গুনিতক উপস্থিত। কাজেই আমরা বলতে পারি, (1 + 63)^64 এর বিস্তৃতিতেও প্রথমে 1 বাদে বাকি সব পদের সাথেই 63 বা 63 এর কোন গুনিতক উপস্থিত থাকবে। কাজেই সে সব পদ 9 দ্বারা বিভাজ্য হবে এবং তাদের মোট ভাগশেষ হবে 0। শুধু 1 পদটি 9 দ্বারা বিভাজ্য নয়। আর 1 কে 9 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে 1।

কাজেই 64^64 mod 9 = 1

তবে দ্বিপদী বিস্তৃতি না জানলেও শুধু সূচকের নিয়ম ব্যবহার করেও এই সমস্যার সমাধান করা যাবে। আমরা আগামীতে একটি সমস্যার সমাধানের সময় এই নিয়ে আলোচনা করবো।

সঠিক উত্তর দাতা দের নাম:
১। Mohammed Marzuq Rahman – Chittagong
২। Md. Istiyak Rahman – Jamalpur
৩। MD.SAKIBUL ISLAM SIAM – Sirajganj
৪। নাঈম আহমেদ – সিলেট
৫। স্বাগতা সাহা – Pabna
৬। Karabi kumari medha – Dhaka
৭। Abrar Al Samit – Chattogram
৮। Nuruzzaman Islam – নীলফামারী
৯। Mubasshir – Mymensingh
১০। Adrija Saha – Dhaka
১১। Md Fardin – Cumilla
১২। Mobashsher – বগুড়া
১৩। মোঃ রায়হান – ঢাকা
১৪। Nawshad Bin Afsad – Kurigram
১৫। Debu – Nilphamari
১৬। Karabi – Dhaka
১৭। Muniad Bin Mahatab – Savar
১৮। Asmaul Husna Ohi – Rangpur
১৯। Saikat Talukdar – Sunamganj
২১। Md Muqtadir Fuad – Dinajpur
২২। Saifuzzaman Saif – Chuadanga
২৩। Asif – Chadpur